Как найти точку максимума производной функции. Как найти точки минимума и максимума функции: особенности, способы и примеры. Как искать наибольшее и наименьшее значение функции
Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].
Показать решениеРешение
Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y"= (7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y"=0;
7x(x-6)e^x=0,
x_1=0, x_2=6.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.
Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.
Ответ
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке \left.
Показать решениеРешение
y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac{12}{\cos ^2x}= \frac{12\cos ^2x-12}{\cos ^2x}\leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^{x+52}.
Показать решениеРешение
Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^\alpha и e^x:
y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^{x+52}+(x+8)^2\left(e^{x+52}\right)"= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x . y"=0 при x=-8, x=-10.
Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Найдите точку максимума функции y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.
Показать решениеРешение
ОДЗ: x \geqslant 0. Найдём производную исходной функции:
y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.
Вычислим нули производной:
8-\sqrt x=0;
\sqrt x=8;
x=64.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отрезке \left[\frac35; \frac75\right].
Показать решениеРешение
ОДЗ: x>0.
Найдём производную исходной функции:
y"(x)= 10x-12+\frac{2}{x}= \frac{10x^2-12x+2}{x}.
Определим нули производной: y"(x)=0;
\frac{10x^2-12x+2}{x}=0,
5x^2-6x+1=0,
x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{3^2-5\cdot1}}{5}= \frac{3\pm2}{5},
x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],
x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.
Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac35; 1\right] исходная функция убывает, а на отрезке \left возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке \left[\frac35; \frac75\right] достигается при x=1 и равно y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].
Показать решениеРешение
Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения.
Рассмотрим следующий рисунок.
На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0.
Максимум и минимум функции
В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности.
Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).
В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.
Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.
Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.
Стационарные и критические точки
Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.
Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.
Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:
1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.
2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.
Простой алгоритм нахождения экстремумов..
- Находим производную функции
- Приравниваем эту производную к нулю
- Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
- Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
- Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.
Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём
-2
,
тогда производная будет равна
-0,24
,
для второго возьмём
0
, тогда
производная будет
2
, а для третьего возьмём
2
, тогда производная будет
-0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.